Tugas kuliah: September 2018

DEFINISI

Merupakan salah satu pengetahuan dasar untuk memahami integral dan diferensial. Digunakan untuk menjelaskan pengaruh variable fungsi yang bergerak mendekati suatu titik terhadap fungsi tersebut.

NOTASI:
$\lim_{x\rightarrow a}f(x)=L$

CONTOH:
1. Tentukan nilai dari $\lim_{x\rightarrow 3} 4X-3$ ?
JAWAB:
$\lim_{x\rightarrow 3} 4X-3$ = 4.3 – 3

= 12 – 3

= 9

Ada 7 cara dalam menyelesaikan limit fungsi, yaitu :

1. Substitusi nilai limit x pada persamaan

Cara pertama yang perlu dilakukan untuk mengetahui suatu nilai limit fungsi adalah dengan melakukan substitusi nilai limit x pada persamaan. Jika hasil yang diperoleh adalah suatu nilai, (bukan $\frac{0}{0}$ ) maka proses mencari nilai limit berhenti sampai di sini.
CONTOH:
$\lim_{x\rightarrow 4} \frac{x^{2}-2x-3}{x^{2}-9}$

Untuk mendapatkan nilai limit fungsi seperti bentuk di atas, sobat idschool hanya perlu melakukan substitusi nilai x = 4 pada persamaan fungsinya.

$\lim_{x\rightarrow 4} \frac{x^{2}-2x-3}{x^{2}-9} = \frac{4^{2}-2.4-3}{4^{2}-9}$

$=\frac{16-8-3}{16-9}$

$=\frac{5}{7}$

2. Pemfaktoran

Tips kedua yang dapat digunakan untuk menemukan nilai limit adalah metode pemfaktoran. Cara ini digunakan jika proses pencarian nilai limit dengan metode substitusi menghasilkan nilai $\frac{0}{0}$ .

CONTOH:
$\lim_{X\rightarrow 3}\frac{X^{2}-2X-3}{X^{2}-9} = \frac{0}{0}$

Hasil limit seperti di atas bukan merupakan nilai limit yang diharapkan. Proses mencari nilai limit belum selesai, untuk mencari nilai limit dengan bentuk ini, sobat idschool dapat menggunakan metode pemfaktoran. Perhatikan cara mencari nilai limit dengan metode pemfaktoran yang akan diberikan di bawah.

$\lim_{X\rightarrow 3}\frac{X^{2}-2X-3}{X^{2}-9} = \lim_{X\rightarrow 3} \frac{X-3}{X-3}$

$= \lim_{X\rightarrow 3}\frac{X+1}{X+3}$

$=\frac{4}{6}$

Tidak semua bentuk limit fungsi yang diselesaikan menggunakan pemfaktoran akan menghasilkan nilai limitnya. Pada kasus tertentu, ada bentuk limit fungsi yang tidak memiliki nilai limit fungsi.

CONTOH:

$\left.\begin{matrix} \\ \lim_{X\rightarrow 0}\frac{1}{X} \\ \\ lim_{X\rightarrow 0}\frac{1}{X^{2}} \\ \\ \lim_{X\rightarrow 2 }\sqrt{1-5X} \end{matrix}\right\} = nilai \, limit\: tidak\: ada$

3. Mengalikan dengan Penyebut yang Sama

Metode untuk menentukan nilai limit yang ke tiga adalah mengalikan dengan penyebut. Perhatikan bentuk limit yang diberikan pada persamaan di bawah!

$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\frac{1}{x+2}-\frac{1}{2}}{x}$

Penyelesaian bentuk limit di atas menggunakan metode substitusi menghasilkan nilai Sedangkan metode pemfaktoran juga tidak dapat digunakan karena tidak ada bentuk yang bisa difaktorkan. Sehingga, untuk mendapatkan nilai limit fungsi bentuk ini diperlukan metode lain, yaitu metode mengalikan dengan penyebut yang sama.

PENYELESAIANNYA:

$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\frac{1}{x+2}-\frac{1}{2}}{x} = \lim_{x\rightarrow 0} \begin{pmatrix} \frac{2}{2} \end{pmatrix} \frac{\frac{1}{x+2}-\frac{1}{2}\begin{pmatrix} \frac{X+2}{X+2} \end{pmatrix}}{x}$

$=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\frac{2-x-2}{2(x+2)}}{x}$

$=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\frac{-x}{2(x+2)}}{x}$
$=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{{-x}}{2(x+2)} \cdot \frac{1}{X}$

$=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{{-1}}{2(x+2)}$

$=\frac{{-1}}{2(0+2)}$

$=-\frac{{1}}{4}$

4. Menyederhanakan Bentuk Aljabar

Metode atau tips ke empat dalam mencari nilai limit adalah membuka tanda kurung kemudian menyederhanakan bentuknya dan menemukan nilai limitnya. Cara ini dapat digunakan untuk mencari nilai limit dengan bentuk seperti di bawah.

$\lim_{X\rightarrow 0}\frac{(X+2)^{2}-4}{X}$

Selalu, dalam proses menemukan nilai limit, perlu cek nilai limit dengan cara substitusi, pemfaktoran, dan mengalikan dengan penyebut yang sama. Hasil substitusi x pada bentuk nilai limit ini tidak menghasilkan nilai limit yang diharapkan, karena menghasilkan nilai $\frac{0}{0}$ .

Bentuk limit yang diberikan di atas tidak dapat difaktorkan secara lebih sederhana. Sedangkan metode mengalikan dengan penyebut yang sama juga tidak dapat dilakukan karena tidak ada penyebut sama yang perlu dilakukan. Sehingga, cara menentukan bentuk limit ini adalah dengan membuka tanda kurung dan menyederhanakan bentuk aljabarnya, kemudian menemukan nilai limitnya.

PENYELESAIANNYA:

$=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{(X+2)^{2}-4}{X}$

$=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{X^{2}+4x+4-4}{X}$

$=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{X^{2}+4x}{X}$

$=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x(x+4)}{X}$

$=\lim_{x\rightarrow 0}(x+4)$

= 0 + 4

= 4

5. Mengalikan Akar sekawan (conjugate)

Tips menentukan nilai limit ke lima yang akan diulas adalah bentuk limit fungsi yang memiliki akar pada pembilangnya. Contoh bentuk soal yang diselesaikan dengan cara metode ini adalah seperti berikut.

$=\lim_{x\rightarrow 8}\frac{\sqrt{x+1}-3}{x-8}$

Pertama, akan diselidiki cara menentukan nilai limit menggunakan metode substitusi.

Jika hasil yang diperoleh dengan cara substitusi tidak sesuai harapan, sehingga perlu dicari menggunakan metode lain.

Metode pemfaktoran tidak dapat digunakan karena bentuk soal yang diberikan tidak dapat difaktorkan menjadi lebih sederhana lagi. Sedangkan metode dengan mengalikan pembilang juga tidak dapat dilakukan karena tidak sesuai bentuk yang diharapkan.

Sehingga perlu cara lain yang dapat digunakan untuk menentukan nilai limitnya. Cara tersebut adalah dengan merasionalkannya. Untuk lebih jelasnya perhatikan cara menentukan limit yang akan diberikan pada ulasan dibawah

$\lim_{x\rightarrow 8}\frac{\sqrt{x+1}-3}{x-8}=\lim_{x\rightarrow 8}\frac{\sqrt{x+1}-3}{x-8}\cdot \frac{\sqrt{x+1}+3}{\sqrt{x+1}+3}$

$=\lim_{x\rightarrow 8}\frac{(x-8)-3\sqrt{x+1}+3\sqrt{x+1}-9}{(x-8)(\sqrt{x+1}+3)}$

$=\lim_{x\rightarrow 8}\frac{(x-8)}{(x-8)(\sqrt{x+1}+3)}$

$=\lim_{x\rightarrow 8}\frac{1}{(\sqrt{x+1}+3)}$

$=\frac{1}{\sqrt{9}+3}$

$=\frac{1}{(3+3)}$

$=\frac{1}{6}$

6. Bentuk limit $=\frac{sin x}{x}$
Bentuk limit lainnya adalah bentuk limit fungsi yang mengandung persamaan $\frac{sin x}{x}=1$ . Sebelum mempelajari lebih jauh kita perlu mengetahui sebuah persamaan limit fungsi berikut

$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{sin x}{x}=1$

$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x}{sin x}=1$

Persamaan di atas dapat digunakan untuk menyelesaikan bentuk limit yang mengandung bentuk $=\frac{sin x}{x}$ Sebelumnya, kita perlu menyelidiki nilai limitnya menggunakan metode susbtitusi, pemfaktoran, dan mengalikan dengan penyebut yang sama.

CONTOH:

$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{sin 2x}{x}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{sin 2x}{2x}\cdot \frac{2}{1}$

$=1\cdot \frac{2}{1}=2$

7. Bentuk Limit Nilai Mutlak

Tips terakhir yang akan diulas pada halaman ini adalah cara menentukan nilai imit fungsi bentuk nilai mutlak. Sebelumnya pahami dulu cara menentukan nilai mutlak yang akan diberikan di bawah.

$\left | X \right |\left\{\begin{matrix} x, x\geq 0\\ -x, x< 0 \end{matrix}\right.$

Berdasarkan persamaan di atas, kesimpulannya adalah nilai mutlak x akan bernilai x jika $x\geq 0$ dan nilai mutlak x akan bernilai -x jika x< 0

CONTOH:

$\lim_{x\rightarrow 2}\frac{\left | x-2 \right |}{x-2}$

Berdasarkan cara mencari nilai mutlak, akan diperoleh persamaan sebagai berikut.

${\left | x-2 \right |}=x-2,x\geq 2$
${\left | x-2 \right |}=(x-2),x< 2$

Nilai limit dari kanan:

$\lim_{x\rightarrow 2}\frac{x-2}{x-2}=1$

Nilai limit dari kiri:

$\lim_{x\rightarrow 2}\frac{-(x-2)}{x-2}=-1$

Nilai limit dari kanan tidak sama dengan nilai limit dari kiri, sehingga kesimpulannya adalah nilai limit tidak ada. Nilai limit hanya diperoleh ketika nilai limit dari kanan sama dengan nilai limit dari kiri.

Jika disajikan dalam gambar akan terlihat seperti berikut.

Terlihat bahwa fungsi membentuk garis yang tidak terhubung (diskontinu).

Tugas kuliah

Sabtu, 29 September 2018

LIMIT FUNGSI

Tugas PAI Sesi 11

Laporkan Penyalahgunaan