Tugas kuliah: TURUNAN FUNGSI 2 VARIABEL

1. Turunan Parsial.

Diketahui z = f(x,y) fungsi dengan dua variabel independen x dan y. Karena x dan y independen maka :

(i). x berubah-ubah sedangkan y tertentu.

(ii). y berubah-ubah sedangkan x tertentu.

Definisi

i) Turunan parsial terhadap variabel x

Jika x berubah-ubah dan y tertentu maka z merupakan fungsi x, Turunan parsial z = f(x,y) terhadap x sbb :

$\frac{\partial z}{\partial x}=f_{x}(x,y)=\lim_{AX\rightarrow 0}\frac{f(x+\Delta x,y)-f(x,y)}{\Delta x}$

ii) Turunan parsial terhadap variabel y

Jika y berubah-ubah dan x tertentu maka z merupakan fungsi

y, Turunan parsial z = f(x,y) terhadap y sbb :

$\frac{\partial z}{\partial y}=f_{y}(x,y)=\lim_{Ay\rightarrow 0}\frac{f(x,y+\Delta y)-f(x,y)}{\Delta y}$

a. Fungsi dua peubah atau lebih

Fungsi dua peubah atau lebih dapat ditulis dalam bentuk eksplisit atau implisit. Jika fungsi dua peubah dinyatakan dalam bentuk eksplisit, maka secara umum ditulis dalam bentuk z = F(x,y). Sebaliknya jika fungsi dituliskan dalam bentuk implisit, secara umum ditulis dalam bentuk F(x,y,z) = 0.

b. Turunan Parsial Fungsi Dua dan Tiga Peubah

Misal z = F(x,y) adalah fungsi dengan variable bebas x dan y. Karena x dan y variable bebas maka terdapat beberapa kemungkinan yaitu:

1. y dianggap tetap, sedangkan x berubah-ubah

2. x dianggap tetap, sedangkan y berubah-ubah

3. x dan y berubah bersama-sama sekaligus.

Pada kasus 1 dan 2 diatas mengakibatkan fungsinya menjadi fungsi satu peubah, sehingga fungsi tersebut dapat diturunkan dengan menggunakan definisi turunan pertama yang telah dipelajari pada kalkulus diferensial.

Definisi

Misal z = F(x,y) adalah fungsi dua peubah yang terdefinisi pada interval tertentu, turunan parsial pertama z terhadap x dan y dinotasikan dengan

$\frac{\partial z}{\partial x}$

dan

$\frac{\partial z}{\partial y}$

Untuk memudahkan persoalan andaikan z = F(x,y) maka untuk menentukan sama artinya dengan menurunkan variabel x dan variabel y dianggap konstan dan selanjutnya y diturunkan. Demikian pula untuk menentukan sama artinya dengan menurukan variable y dan variable x dianggap konstant lalu diturunkan.

Dengan cara yang sama, andaikan W = F(x,y,z) adalah fungsi tiga peubah yang terdefinisi dalam selang tertentu maka turunan parsial pertama dinyatakan dengan , dan yang secara berturut didefinisikan oleh

$\frac{\partial W}{\partial x}=\lim_{Ax\rightarrow0}\frac{f(x+\Delta x,y,z)-f(x,y,z)}{\Delta x}$

$\frac{\partial W}{\partial y}=\lim_{Ay\rightarrow0}\frac{f(x,y+\Delta y,z)-f(x,y,z)}{\Delta y}$

$\frac{\partial W}{\partial z}=\lim_{Az\rightarrow0}\frac{f(x,y,z+\Delta z)-f(x,y,z)}{\Delta z}$

Asalkan limitnya ada.

Selanjutnya turunan parsial fungsi dua peubah atau lebih dapat ditentukan turunan parsial ke n, untuk n 2 turunan parsialnya dinamakan turunan parsial tingkat tinggi.

Dengan menggunakan analogi fungsi satu peubah dapat ditentukan turunan parsial tingkat 2, 3 dan seterusnya.

CONTOH TURUNAN PARSIAL

1) Untuk fungsi y = 3x² – 5z² + 2x²z – 4xz² – 9 tentukanlah derivatif parsialnya !

Jawab :

∂ y = 6x + 4xz – 4z²

∂ x

∂ y = -10z + 2x² – 8xz

∂ z

2) Untuk fungsi y = 3x² – 5z² + 2x²z – 4xz² – 9 tentukanlah diferensial parsialnya !

Jawab :

∂ y dx = 6 + 4z

∂ x

∂ y dz = 4x – 8z

∂ x

∂ y dx = 4x – 8z

∂ z

∂ y dz = -10 – 8x

∂ z

2. Total Diferensial

Diferensial total suatu fungsi dapat berarti gradien dari fungsi tersebut, yang merupakan jumlah dari semua diferensial parsial terhadap semua variabel independen.

fungsi-fungsi dengan lebih dari satu variabel independen

$y = f(x_1,\dots,x_n), \,$

diferensial parsial y terhadap setiap variabel x₁ merupakan bagian utama perubahan y yang dihasilkan dari suatu perubahan dx₁ dalam variabel tunggal tersebut. Maka, diferensial parsial adalah

$\frac{\partial y}{\partial x_1} dx_1$

melibatkan derivatif parsial y terhadap x₁. Jumlah semua diferensial parsial itu terhadap semua variabel independen itulah yang merupakan diferensial total

$dy = \frac{\partial y}{\partial x_1} dx_1 + \cdots + \frac{\partial y}{\partial x_n} dx_n,$

yang merupakan bagian utama perubahan dalam y sebagai hasil perubahan-perubahan dalam variabel independen xi.

3.      Total derivatives
Turunan total fungsi  adalah aprokslimasi linear terbaik dari nilai fungsi $f$ sehubungan dengan argumennya. Tidak seperti derivatif parsial turunan  total mendekati fungsi sehubungan dengan semua argumennya, tidakk hanya satu pun.Dalam banyak situasi, ini sama dengan mempertimbangkan semua derivatif parsial secara bersamaan. Istilah "turunan total" terutama digunakan saat $f$ adalah fungsi dari beberapa variabel, karena kapan $f$ adalah fungsi dari variabel tunggal, turunan total adalah sama dengan turunan  dari fungsi

Ketika fungsi yang sedang dipertimbangkan bernilai nyata, total derivatif dapat disusun kembali menggunakan bentuk diferensial .Misalnya, anggap itu $f\colon \mathbf {R} ^{n}\to \mathbf {R}$ adalah fungsi variabel terdiferensiasi $x_{1},\ldots ,x_{n}$   . Total turunan dari $f$ di $a$ dapat ditulis dalam bentuk matriks Jacobiannya, yang dalam hal ini menyederhanakan ke gradien :

$df_{a}={\begin{pmatrix}{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}},&\cdots &,&{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}\end{pmatrix}}.$

Properti perkiraan linear dari turunan total menyiratkan bahwa jika

$\Delta x={\begin{pmatrix}\Delta x_{1},&\cdots &,&\Delta x_{n}\end{pmatrix}}^{T}$

adalah vektor kecil (dimana $T$ menunjukkan transpose, sehingga vektor ini adalah vektor vektor kolom), lalu

$f(a+\Delta x)-f(a)\approx df_{a}(\Delta x)=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}\Delta x_{i}.$

Secara heuristik, ini menunjukkan bahwa jika $dx_{1},\ldots ,dx_{n}$ sedikit demi sedikit dalam arah koordinat, kemudian

$df_{a}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}dx_{i}.$

Teori bentuk diferensial adalah salah satu cara untuk memberikan arti yang tepat untuk penambahan yang sangat kecil seperti $dx_{i}$ . Dalam teori ini, $dx_{i}$ adalah fungsional I

Turunan Parsial Fungsi Implisit

Fungsi Implisit 4 Peubah

BU dinyatakan dengan