Tugas kuliah

Rabu, 10 Juli 2019

Tugas PAI Sesi 11

Nama: Ayu Mudmaina
NIM: 20180606032
Agama Islam Seksi 11

Tugas PAI Sesi 11

Nama: Deni Wahyu Romadhan
NIM : 20180606009
Agama Seksi 11

Jumat, 05 Juli 2019

Tugas Agama Islam (Rosa Amelia 20180606037) Agama Islam Seksi 11

Jumat, 28 Desember 2018

Pengertian Integral
Integral merupakan bentuk operasi matematika yang menjadi kebalikan (invers) dari operasi turunan dan limit dari jumlah atau suatu luas daerah tertentu. berdasarkan pengertian tersebut ada dua hal yang dilakukan dalam integral sehingga dikategorikan menjadi 2 jenis integral yaitu:
hghg

· Integral sebagai invers/kebalikan dari turunan disebut sebagai itegral tak tentu.

· Integral sebagai limit dari jumlah atau suatu luas daerah tertentudisebut integral tentu.

Rumus

integral f(x)dx

· f(x) = fungsi yang akan diintegralkan

· dx = tanda untuk melakukan diferensiasi terhadap x

· integral f(x)dx sebagai notasi diferensiasi dari the primitive function/dari fungsi asalnya.

Rumus dasar integral:

INTEGRAL TAK TENTU
Dinamakan integral tak tentu itu karena integral ini tidak memiliki batas atas dan bawah. Biasanya hanya berupa integral dari sebuah aljabar matematika. Bentuk integral ini tidak memiliki daerah asal dan tidak memiliki daerah hasil

∫ f(x) dx = F(x) + c

INTEGRAL TENTU
Dalam aplikasinya, integral tentu banyak digunakan untuk menghitung luas di bawah kurva dengan batas tertentu atau menghitung volume benda jika diputar.

INTEGRAL PARSIAL
Teknik atau metode lain yang bisa digunakan untuk melakukan integral adalah dengan metode parsial. Teknik ini biasanya digunakan untuk mencari suatu fungsi yang tidak dapat dicari integralnya jika menggunakan cara substitusi.

∫ u.dv = u.v – ∫ v. du

INTEGRAL SUBTITUSI
Untuk mengintegralkan sebuah alajabar kita bisa menggunakan metode penggantian atau substitusi. Misalkan u = g(x) dengan g(x) merupkan fungsi yang mempunyai turunan

∫ f(g(x)).g'(x) = ∫ f(u).du = F(u) + c

INTEGRAL FUNGSI ALJABAR
Jika ada fungsi aljabar yang diintegralkan maka sobat bisa menggunakan rumus berikut:

INTEGRAL FUNGSI EKSPONEN

INTEGRAL FUNGSI TRIGONOMETRI

Rumus:
∫ sin x dx = −cos x + C
∫ cos x dx = sin x + C
∫ sec2 x dx = tan x + C
∫ csc2 x dx = −cot x + C
∫ sec x . tan x dx = sec x + C
∫ csc x . cot x dx = −csc x + C

Aturan-Aturan Dasar Integral

1. Rule 1 (The Power Rule)

2. Rule 2 (The Integral Of Multiple)

3. Rule 3 (The Subtitution Rule)

4. Rule 4 (The Logarithmic Rule)

5. Rule 5 (The Exponential Rule)

integral bentuk eksponensial

6. Rule 6 (The Integral Of Sum)

7. Rule 7 (Integration by Parts)
Jika u = u(x) dan du = u′(x) dx, sedangkan v = v(x) dan dv = v′(x) dx, lalu integration by parts dinyatakan dengan :

${\begin{aligned}\int _{a}^{b}u(x)v'(x)\,dx&=[u(x)v(x)]_{a}^{b}-\int _{a}^{b}u'(x)v(x)dx\\&=u(b)v(b)-u(a)v(a)-\int _{a}^{b}u'(x)v(x)\,dx\end{aligned}}$
atau lebih jelasnya :

$\int u\,dv=uv-\int v\,du.\!$

8. Rule 8 (Trigonometric Rules)

Contoh :

Rabu, 28 November 2018

MATRIKS

DEFINI
Matriks adalah susunan bilangan-bilangan riil atau kompleks yang diatur dalam baris-baris dan kolom-kolom berbentuk persegi panjang

Notasi A = (a_ij)

Artinya matriks A mempunyai elemen a_ij, dimana indeks i menyatakan baris ke-i dan indeks j menyatakan kolom ke-j dari elemen a_ij.

Nama matriks menggunakan huruf besar
Elemen atau Anggota atau Unsur menggunakan huruf kecil atau angka
Matriks A = (am x n), ordo matriks A adalah m x n

Operasi pada matriks

1. Penjumlahan

Ø Apabila A dan B merupakan dua matriks yang ukurannya sama, maka hasil penjumlahan (A + B) adalah matriks yang diperoleh dengan menambahkan bersama-sama entri yang seletak/bersesuaian dalam kedua matriks tersebut.

Ø Matriks-matriks yang ordo/ukurannya berbeda tidak dapat ditambahkan

2. Pengurangan

Ø Apabila A dan B merupakan dua matriks yang ukurannya sama, maka hasil penguran (A - B) adalah matriks yang diperoleh dengan mengurangi bersama-sama entri yang seletak/bersesuaian dalam kedua matriks tersebut.

Ø Matriks-matriks yang ordo/ukurannya berbeda tidak dapat dikurangkan

3. Perkalian skala dengan matriks

Ø Bila l suatu bilangan dan a = aij maka perkalian l dengan A ditulis A = l(aij) = (laij), atau dengan kata lain matriks lA diperoleh dari perkalian semua elemen A dengan l.

4. Perkalian pada matriks

Ø Bila A = (aij) berordo (pxq)

dan matriks B = (bij) berordo (qxr),

maka perkalian matriks A dan B ditulis AxB,

adalah matriks C = AxB = (cij) berordo (pxr),

dimana cij = a11bij + a12b2j+..….+ a1qbqr

ü Syarat agar matriks A dan B bisa dikalikan adalah banyaknya kolom matriks A harus sama dengan banyaknya baris matriks B.

5. Transpose matriks

Ø Bila matriks A = (aij), berordo (mxn), maka transpose dari matriks A ditulis At adalah matriks yang diperoleh dari A dengan menukar semua baris matriks A menjadi kolom matriks At. Maka matriks At akan berordo nxm.

Jenis-jenis Matriks

Matriks dapat dikelompokan ke beberapa jenis berdasarkan pada jumalah baris dan kolom serta pola elemen matriksnya sebagai berikut :

1. Matriks Baris dan Matriks Kolom

Matriks baris adalah suatu matriks yang hanya memiliki satu baris saja. Sedangkan, matriks kolom adalah suatu matriks yang hanya memiliki satu kolom saja. Contoh:

A = (1 4) atau B = (3 7 9) adalah matriks baris

$\begin{pmatrix} 146 \\ 275 \\ 528 \end{pmatrix}$ atau $D = \begin{pmatrix} p \\ q \end{pmatrix}$ adalah matriks kolom

2. Matriks Persegi

Matriks yang memiliki jumlah kolom dan baris yang sama disebut matriks persegi. Matriks persegi memiliki ordo n.

Contoh:

$A = \begin{pmatrix} 34 & 56 & 41 \\ 45 & 36 & 37 \\ 51 & 32 & 46 \end{pmatrix}$ adalah matriks persegi berordo 3, atau

$B = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$ adalah matriks persegi berordo 2.

3. Matriks Segitiga Atas dan Segitiga Bawah

Matriks persegi A yang memiliki elemen matriks $a_{ij} = 0$ untuk $i > j$ atau elemen-elemen matriks dibawah diagonal utama bernilai 0 disebut matriks segitiga atas. Matriks persegi A yang memiliki elemen matiks $a_{ij} = 0$ untuk $i < j$ atau elemen-elemen matriks diatas diagonal utama bernilai 0 disebut matriks segitiga bawah.

Contoh:

$A = \begin{pmatrix} 1 & 6 & 4 \\ 0 & 3 & 7 \\ 0 & 0 & 4 \end{pmatrix}$ adalah matriks segitiga atas,

$B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 7 & 3 & 0 \\ 4 & 6 & 4 \end{pmatrix}$ adalah matriks segitiga bawah.

4. Matriks Diagonal

Matriks persegi A yang memiliki elemen matiks $a_{ij} = 0$ untuk $i \neq j$ atau elemen-elemen matriks diluar diagonal utama bernilai 0 disebut matriks diagonal.

Contoh:

$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{pmatrix}$ atau $B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 4 \end{pmatrix}$

5. Matriks Skalar

Matriks diagonal yang memiliki elemen-elemen pada diagonal utamanya bernilai sama disebut matriks skalar.

Contoh:

$A = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}$ atau $B = \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 4 \end{pmatrix}$

6. Matriks Indentitas

Matriks diagonal dengan elemen-elemen diagonal utamanya bernilai 1 disebut matriks identitas. Pada umumnya matriks identitas dinotasikan dengan “I”. Contoh:

$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ atau $B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

7. Matriks Simetris

Matriks persegi A yang memiliki elemen matiks baris ke-I sama dengan elemen matriks kolom ke-j untuk i = j disebut simetris. Atau, dapat dikatakan elemen $a_{ij}$ sama dengan elemen $a_{ji}$ .

Contoh:

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 4 \\ 2 & 3 & 5 \\ 4 & 5 & 7 \end{pmatrix}$

Dapat dilihat bahwa elemen baris ke-1 sama dengan kolom ke-1, baris ke-2 sama dengan kolom ke-2, dan baris ke-3 sama dengan kolom ke-3.

Contoh soal :

Soal No. 1
Dua buah matriks A dan B masing-masing berturut-turut sebagai berikut:

Tentukan A − B

Pembahasan
Operasi pengurangan matriks:

Soal No. 2
Dari dua buah matriks yang diberikan di bawah ini,

Tentukan 2A + B

Pembahasan
Mengalikan matriks dengan sebuah bilangan kemudian dilanjutkan dengan penjumlahan:

Soal No. 3
Matriks P dan matriks Q sebagai berikut

Tentukan matriks PQ

Pembahasan
Perkalian dua buah matriks

Soal No. 4
Tentukan nilai a + b + x + y dari matriks-matriks berikut ini

Diketahui bahwa P = Q

Pembahasan
Kesamaan dua buah matriks, terlihat bahwa

3a = 9 → a = 3
2b = 10 → b = 5
2x = 12 → x = 6
y = 6
y = 2

Sehingga:
a + b + x + y = 3 + 5 + 6 + 2 = 16

Selasa, 16 Oktober 2018

TURUNAN FUNGSI 2 VARIABEL

1. Turunan Parsial.

Diketahui z = f(x,y) fungsi dengan dua variabel independen x dan y. Karena x dan y independen maka :

(i). x berubah-ubah sedangkan y tertentu.

(ii). y berubah-ubah sedangkan x tertentu.

Definisi

i) Turunan parsial terhadap variabel x

Jika x berubah-ubah dan y tertentu maka z merupakan fungsi x, Turunan parsial z = f(x,y) terhadap x sbb :

$\frac{\partial z}{\partial x}=f_{x}(x,y)=\lim_{AX\rightarrow 0}\frac{f(x+\Delta x,y)-f(x,y)}{\Delta x}$

ii) Turunan parsial terhadap variabel y

Jika y berubah-ubah dan x tertentu maka z merupakan fungsi

y, Turunan parsial z = f(x,y) terhadap y sbb :

$\frac{\partial z}{\partial y}=f_{y}(x,y)=\lim_{Ay\rightarrow 0}\frac{f(x,y+\Delta y)-f(x,y)}{\Delta y}$

a. Fungsi dua peubah atau lebih

Fungsi dua peubah atau lebih dapat ditulis dalam bentuk eksplisit atau implisit. Jika fungsi dua peubah dinyatakan dalam bentuk eksplisit, maka secara umum ditulis dalam bentuk z = F(x,y). Sebaliknya jika fungsi dituliskan dalam bentuk implisit, secara umum ditulis dalam bentuk F(x,y,z) = 0.

b. Turunan Parsial Fungsi Dua dan Tiga Peubah

Misal z = F(x,y) adalah fungsi dengan variable bebas x dan y. Karena x dan y variable bebas maka terdapat beberapa kemungkinan yaitu:

1. y dianggap tetap, sedangkan x berubah-ubah

2. x dianggap tetap, sedangkan y berubah-ubah

3. x dan y berubah bersama-sama sekaligus.

Pada kasus 1 dan 2 diatas mengakibatkan fungsinya menjadi fungsi satu peubah, sehingga fungsi tersebut dapat diturunkan dengan menggunakan definisi turunan pertama yang telah dipelajari pada kalkulus diferensial.

Definisi

Misal z = F(x,y) adalah fungsi dua peubah yang terdefinisi pada interval tertentu, turunan parsial pertama z terhadap x dan y dinotasikan dengan

$\frac{\partial z}{\partial x}$

dan

$\frac{\partial z}{\partial y}$

Untuk memudahkan persoalan andaikan z = F(x,y) maka untuk menentukan sama artinya dengan menurunkan variabel x dan variabel y dianggap konstan dan selanjutnya y diturunkan. Demikian pula untuk menentukan sama artinya dengan menurukan variable y dan variable x dianggap konstant lalu diturunkan.

Dengan cara yang sama, andaikan W = F(x,y,z) adalah fungsi tiga peubah yang terdefinisi dalam selang tertentu maka turunan parsial pertama dinyatakan dengan , dan yang secara berturut didefinisikan oleh

$\frac{\partial W}{\partial x}=\lim_{Ax\rightarrow0}\frac{f(x+\Delta x,y,z)-f(x,y,z)}{\Delta x}$

$\frac{\partial W}{\partial y}=\lim_{Ay\rightarrow0}\frac{f(x,y+\Delta y,z)-f(x,y,z)}{\Delta y}$

$\frac{\partial W}{\partial z}=\lim_{Az\rightarrow0}\frac{f(x,y,z+\Delta z)-f(x,y,z)}{\Delta z}$

Asalkan limitnya ada.

Selanjutnya turunan parsial fungsi dua peubah atau lebih dapat ditentukan turunan parsial ke n, untuk n 2 turunan parsialnya dinamakan turunan parsial tingkat tinggi.

Dengan menggunakan analogi fungsi satu peubah dapat ditentukan turunan parsial tingkat 2, 3 dan seterusnya.

CONTOH TURUNAN PARSIAL

1) Untuk fungsi y = 3x² – 5z² + 2x²z – 4xz² – 9 tentukanlah derivatif parsialnya !

Jawab :

∂ y = 6x + 4xz – 4z²

∂ x

∂ y = -10z + 2x² – 8xz

∂ z

2) Untuk fungsi y = 3x² – 5z² + 2x²z – 4xz² – 9 tentukanlah diferensial parsialnya !

Jawab :

∂ y dx = 6 + 4z

∂ x

∂ y dz = 4x – 8z

∂ x

∂ y dx = 4x – 8z

∂ z

∂ y dz = -10 – 8x

∂ z

2. Total Diferensial

Diferensial total suatu fungsi dapat berarti gradien dari fungsi tersebut, yang merupakan jumlah dari semua diferensial parsial terhadap semua variabel independen.

fungsi-fungsi dengan lebih dari satu variabel independen

$y = f(x_1,\dots,x_n), \,$

diferensial parsial y terhadap setiap variabel x₁ merupakan bagian utama perubahan y yang dihasilkan dari suatu perubahan dx₁ dalam variabel tunggal tersebut. Maka, diferensial parsial adalah

$\frac{\partial y}{\partial x_1} dx_1$

melibatkan derivatif parsial y terhadap x₁. Jumlah semua diferensial parsial itu terhadap semua variabel independen itulah yang merupakan diferensial total

$dy = \frac{\partial y}{\partial x_1} dx_1 + \cdots + \frac{\partial y}{\partial x_n} dx_n,$

yang merupakan bagian utama perubahan dalam y sebagai hasil perubahan-perubahan dalam variabel independen xi.

3.      Total derivatives
Turunan total fungsi  adalah aprokslimasi linear terbaik dari nilai fungsi $f$ sehubungan dengan argumennya. Tidak seperti derivatif parsial turunan  total mendekati fungsi sehubungan dengan semua argumennya, tidakk hanya satu pun.Dalam banyak situasi, ini sama dengan mempertimbangkan semua derivatif parsial secara bersamaan. Istilah "turunan total" terutama digunakan saat $f$ adalah fungsi dari beberapa variabel, karena kapan $f$ adalah fungsi dari variabel tunggal, turunan total adalah sama dengan turunan  dari fungsi

Ketika fungsi yang sedang dipertimbangkan bernilai nyata, total derivatif dapat disusun kembali menggunakan bentuk diferensial .Misalnya, anggap itu $f\colon \mathbf {R} ^{n}\to \mathbf {R}$ adalah fungsi variabel terdiferensiasi $x_{1},\ldots ,x_{n}$   . Total turunan dari $f$ di $a$ dapat ditulis dalam bentuk matriks Jacobiannya, yang dalam hal ini menyederhanakan ke gradien :

$df_{a}={\begin{pmatrix}{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}},&\cdots &,&{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}\end{pmatrix}}.$

Properti perkiraan linear dari turunan total menyiratkan bahwa jika

$\Delta x={\begin{pmatrix}\Delta x_{1},&\cdots &,&\Delta x_{n}\end{pmatrix}}^{T}$

adalah vektor kecil (dimana $T$ menunjukkan transpose, sehingga vektor ini adalah vektor vektor kolom), lalu

$f(a+\Delta x)-f(a)\approx df_{a}(\Delta x)=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}\Delta x_{i}.$

Secara heuristik, ini menunjukkan bahwa jika $dx_{1},\ldots ,dx_{n}$ sedikit demi sedikit dalam arah koordinat, kemudian

$df_{a}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}dx_{i}.$

Teori bentuk diferensial adalah salah satu cara untuk memberikan arti yang tepat untuk penambahan yang sangat kecil seperti $dx_{i}$ . Dalam teori ini, $dx_{i}$ adalah fungsional I

Turunan Parsial Fungsi Implisit

Fungsi Implisit 4 Peubah

BU dinyatakan dengan

Atau ditulis dalam bentuk

F(x,y,u,v) = 0 dan G(x,y,u,v) = 0

dengan x,y variable berpasangan dan u,v variabel berpasangan dan F(x,y,u,v) = 0 serta G(x,y,u,v) = 0 tidak dapat berdiri sendiri.

Untuk menentukan turunan parsial 4 peubah, langkah ditempuh adalah menurunkan fungsi terhadap peubah yang dimaksud.

Contoh: